системы линейных неравенств в маткад

С учетом введенных обозначений функционал (1.4.3) можно представить в эквивалентном виде

Входной переменной для модели (1.4.6) служит вектор , а выходной - вектор .

для которой начальные условия задаются вектором , а матрицы , , - формулами

В соответствии с подходом, принятым для обеспечения астатизма, сформируем дополненную прогнозирующую модель

о поиске программной последовательности векторов , которая минимизирует функционал (1.4.3) без учёта ограничений.

Ранее рассматривалась оптимизационная задача

- векторы, представляющие регулируемые и управляющие последовательности соответственно на горизонте прогноза. Использование функционала (1.4.3), наряду с оптимизацией динамики, позволяет обеспечивать астатизм замкнутой системы.

где - заданные положительно определённые матрицы,

Как и в предшествующем параграфе, качество управления прогнозирующей моделью будем оценивать значениями квадратичного функционала

Пусть прогнозирующая модель (1.4.2) на начальном такте j = 0 инициируется состоянием реального объекта управления, достигнутого на k-м такте его функционирования. Кроме того, пусть выполняются равенства для любого i = k,k+1,...,k+P.

Здесь размерности векторов состояния, управления и измерения такие же, как и в системе (1.4.1). Будем полагать, что заданные фиксированные матрицы , и приближённо представляют матрицы , и .

Наряду с уравнениями (1.4.1) будем использовать уравнения прогнозирующей модели

Здесь k = 0,1,2,... - номер такта, определяющий дискретный момент времени - шаг дискретности. Векторы представляют состояние объекта, управление и измерение (регулируемые координаты) соответственно в момент времени , а векторы - внешнее возмущение и шум в измерениях в этот же момент. Матрицы , , и имеют постоянные во времени компоненты.

Будем считать, что существует точная линейная модель дискретного объекта управления в виде систе-мы линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами:

Как и в предшествующих параграфах, будем рассматривать дискретный линейно-квадратичный вариант обобщенной задачи управления с предсказанием.

Однако ситуация принципиально меняется при учёте ограничений на управления и контролируемые переменные, существенно сужающих допустимое множество регуляторов в задаче LQR-оптимизации. Здесь построение точного оптимального решения в реальном времени весьма проблематично, что значительно повы-шает обоснованность привлечения MPC-подхода.

К достоинствам подхода здесь лишь можно отнести существенное упрощение вычислительной процеду-ры поиска коэффициентов по сравнению с классической дискретной оптимизацией, включающей решение уравнения Риккати. Фактически это упрощение достигается за счёт отказа от априорного учёта требования устойчивости и за счёт конечности интервала, на котором рассматривается процесс. При этом процедура настройки регулятора может быть реализована в режиме реального времени непосредственно перед его функциональным использованием, например - на борту подвижного объекта.

В результате решения рассмотренных выше задач с привлечением MPC-подхода формируются линейные обратные связи (регуляторы) с постоянными коэффициентами, которые по своим свойствам принципиально не отличаются от дискретных LQR-оптимальных регуляторов. Как было показано на примерах, при опреде-лённых условиях расширением горизонта прогноза можно построить минимизирующую последовательность регуляторов, сходящуюся к оптимальному пределу. По существу, MPC-подход в линейно-квадратичной постановке без ограничений даёт один из способов формирования квазиоптимальных управлений по отношению к дискретной LQR задаче.

1.4. Задача MPC-управления с квадратичным функционалом при наличии ограничений

Е.И.Веремей, В.В.Еремеев. Статья "Введение в задачи управления на основе предсказаний".